Racine de p irrationnelle - Corrigé

Énoncé

Montrer que, si $p$ est un nombre premier, alors $\sqrt{p}$ est un nombre irrationnel.

Solution

Soit $p\in \mathcal{P}$ .

Raisonnons par l'absurde, et supposons que $\sqrt{p}$ est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe $a\in \mathbb{Z}$ et $b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ premiers entre eux tels que $\sqrt{p}={\displaystyle \frac{a}{b}}$ .

On a alors :  $\begin{array}{r}p=\frac{a^2}{b^2}⟺a^2=p{b}^2\end{array}$  donc $p$ divise $a^2$ .

Or $p$ est premier, donc $p$ divise $a$ .

Ainsi, il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $a=pk$ ,
donc $\begin{array}{r}{a}^2=p{b}^2⟺p^2{k}^2=p{b}^2⟺p{k}^2=b^2\end{array}$  et donc $p$ divise $b^2$ .

Or $p$ est premier, donc $p$ divise $b$ .

Ainsi, $p$ est un diviseur commun de $a$ et $b$ qui sont premiers entre eux,
donc $p=1$ : contradiction, car $p\in \mathcal{P}$ . Par conséquent, $\sqrt{p}$ est irrationnel.